1. Pourquoi plusieurs bases ?
L’être humain compte en base 10, sans doute parce qu’il a dix doigts. Un ordinateur, lui, est fait de composants électroniques qui ne distinguent que deux états : le courant passe ou ne passe pas, que l’on note 1 ou 0. Dès que l’on aborde le monde numérique, il faut donc savoir comment les nombres sont représentés dans différentes bases (c’est la numération) et comment passer d’une base à une autre (c’est le transcodage).
Toute information traitée par un système numérique suit la même chaîne : elle est acquise, codée en binaire, éventuellement transmise, puis décodée et restituée.
| Grandeur physique (image, son, texte…) | → Acquisition | → Codage / traitement | → Transmission (message binaire) | → Décodage / traitement | → Restitution |
|---|
2. Les trois bases à connaître
2.1 La base décimale (B = 10)
Elle utilise 10 symboles, appelés chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Chaque position (rang) vaut 10 fois la précédente : dans 347, le 3 vaut 3 × 10², le 4 vaut 4 × 10¹ et le 7 vaut 7 × 10⁰.
2.2 La base binaire (B = 2)
Elle n’utilise que deux symboles : 0 et 1. C’est la base de fonctionnement de tous les systèmes électroniques et informatiques. Un chiffre binaire s’appelle un bit, contraction de l’anglais binary digit.
Le poids d’un bit dépend de son rang (sa position, numérotée à partir de 0 en partant de la droite) : le bit de rang n a pour poids 2ⁿ.
| Rang | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Poids | 2⁷ | 2⁶ | 2⁵ | 2⁴ | 2³ | 2² | 2¹ | 2⁰ |
| Valeur | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
2.3 La base hexadécimale (B = 16)
Écrire un nombre en binaire est long et source d’erreurs de recopie : 27986₁₀ s’écrit 110 1101 0101 0010₂. Les informaticiens utilisent donc la base 16, beaucoup plus concise : le même nombre s’écrit 6D52₁₆. Elle comporte 16 symboles : les chiffres 0 à 9, puis les lettres A (10), B (11), C (12), D (13), E (14) et F (15).
2.4 Table de correspondance (à connaître)
| Décimal | Binaire (4 bits) | Hexadécimal |
|---|---|---|
| 0 | 0000 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 |
| 8 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 9 |
| 10 | 1010 | A |
| 11 | 1011 | B |
| 12 | 1100 | C |
| 13 | 1101 | D |
| 14 | 1110 | E |
| 15 | 1111 | F |
3. Convertir depuis le décimal
3.1 Décimal → binaire : divisions successives par 2
On divise le nombre par 2, puis le quotient obtenu par 2, et ainsi de suite jusqu’à obtenir un quotient nul. Le résultat est formé des restes lus du dernier au premier : le dernier reste obtenu est le bit de poids fort, le premier est le bit de poids faible.
Exemple : convertir 57₁₀.
| Division | Quotient | Reste | Rôle du reste |
|---|---|---|---|
| 57 ÷ 2 | 28 | 1 | bit de poids faible (rang 0) |
| 28 ÷ 2 | 14 | 0 | rang 1 |
| 14 ÷ 2 | 7 | 0 | rang 2 |
| 7 ÷ 2 | 3 | 1 | rang 3 |
| 3 ÷ 2 | 1 | 1 | rang 4 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 | bit de poids fort (rang 5) |
Lecture des restes de bas en haut : 57₁₀ = 111001₂.
3.2 Décimal → hexadécimal : divisions successives par 16
Même méthode, en divisant par 16. Chaque reste (compris entre 0 et 15) est ensuite écrit avec son symbole hexadécimal.
Exemple 1 : convertir 10217₁₀.
| Division | Quotient | Reste | Symbole |
|---|---|---|---|
| 10217 ÷ 16 | 638 | 9 | 9 (poids faible) |
| 638 ÷ 16 | 39 | 14 | E |
| 39 ÷ 16 | 2 | 7 | 7 |
| 2 ÷ 16 | 0 | 2 | 2 (poids fort) |
Résultat : 10217₁₀ = 27E9₁₆.
Exemple 2 : convertir 2652₁₀.
| Division | Quotient | Reste | Symbole |
|---|---|---|---|
| 2652 ÷ 16 | 165 | 12 | C (poids faible) |
| 165 ÷ 16 | 10 | 5 | 5 |
| 10 ÷ 16 | 0 | 10 | A (poids fort) |
Résultat : 2652₁₀ = A5C₁₆. Nous retrouverons ce nombre en partie 4 pour vérifier la conversion inverse.
4. Convertir vers le décimal
Dans les deux cas, la méthode est la même : on multiplie la valeur de chaque symbole par son poids, puis on additionne tous les résultats.
4.1 Binaire → décimal
| Rang | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Bit | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| Poids | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Bit × poids | 128 | 0 | 0 | 16 | 8 | 0 | 2 | 1 |
10011011₂ = 128 + 16 + 8 + 2 + 1 = 155₁₀.
4.2 Hexadécimal → décimal
Chaque symbole est d’abord converti en décimal (A = 10, B = 11…), puis multiplié par son poids 16ⁿ. Vérifions le résultat de la partie 3 :
| Rang | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|
| Symbole | A (= 10) | 5 | C (= 12) |
| Poids | 16² = 256 | 16¹ = 16 | 16⁰ = 1 |
| Symbole × poids | 2560 | 80 | 12 |
A5C₁₆ = 2560 + 80 + 12 = 2652₁₀ : on retrouve bien le nombre de départ.
5. Passer directement du binaire à l’hexadécimal
Comme 16 = 2⁴, un symbole hexadécimal correspond exactement à 4 bits (un quartet). Pas besoin de passer par le décimal : on utilise la table de correspondance de la partie 2.4.
5.1 Binaire → hexadécimal
On regroupe les bits par paquets de 4 en partant de la droite (du bit de poids faible), en complétant si besoin le paquet de gauche par des 0, puis on remplace chaque quartet par son symbole.
| Binaire | 1110 | 0010 | 1011 |
|---|---|---|---|
| Hexadécimal | E | 2 | B |
111000101011₂ = E2B₁₆.
5.2 Hexadécimal → binaire
On écrit chaque symbole hexadécimal sur 4 bits, sans oublier les 0 de tête (5 s’écrit 0101, pas 101).
| Hexadécimal | 9 | B | 5 |
|---|---|---|---|
| Binaire | 1001 | 1011 | 0101 |
9B5₁₆ = 1001 1011 0101₂.
6. L’hexadécimal en cybersécurité
7. Exercices
8. Ce qu’il faut retenir
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